Los números primos son para la matemática como los elementos químicos para la química. Curiosamente, el ser humano se hace las mismas preguntas tanto para los elementos químicos como para los números primos.
• ¿Cuáles son todos los números primos que hay? ¿Cómo están distribuidos?
• ¿Cuáles son los números primos que aparecen en un número dado?
• ¿Cómo se hace para determinar los números primos que aparecen en un número dado?
¿Qué parece más importante?:
Descubrir un método que sirva para hallar la descomposición primaria de números de más de 1.000 cifras en menos de una hora
o
Descubrir planetas fuera del sistema solar que contengan dióxido de carbono en su composición química.
Ambos desafíos están directamente relacionados con dos preguntas ubicadas por la revista Science entre las cien preguntas abiertas más importantes de las ciencias.
¿Qué parece más importante?:
Descubrir un método que sirva para hallar la descomposición primaria de números de más de 1.000 cifras en menos de una hora
o
Descubrir planetas fuera del sistema solar que contengan dióxido de carbono en su composición química.
Ambos desafíos están directamente relacionados con dos preguntas ubicadas por la revista Science entre las cien preguntas abiertas más importantes de las ciencias.
Desde los comienzos de nuestra historia los números primos han despertado la curiosidad y asombro de muchos admiradores aficionados, y han generado en los científicos la ambición por comprenderlos en profundidad.
Aproximadamente en el año 200 a.C., Euclides demuestra que existen infinitos primos. El 10 de diciembre de 2008 la NASA anuncia que con observaciones del telescopio Hubble se ha descubierto que hay CO2, un compuesto muy asociado a la vida, en el planeta HD189733b, que tiene el tamaño de Júpiter, que gira alrededor de una estrella que está a 63 años luz del Sol, ¡asombroso! Sin embargo, es más asombroso que todavía no sepamos de qué manera están distribuidos los números primos dentro de los números naturales. Ni siquiera se sabe si existen infinitas parejas de primos que sean impares consecutivos, es decir del tipo (3;5), (11;13), (17;19), o (1.000.000.931;1.000.000.933).
Los números naturales son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,... Con ellos construimos los demás números que usamos diariamente.
La respuesta a la pregunta: ¿cómo están fabricados los números naturales?, va a depender de cuál sea la herramienta que utilicemos para construirlos. Recordemos que las dos herramientas básicas para trabajar con los números son la
adición y la multiplicación. Así, surgen dos preguntas:
a.- utilizando la adición, ¿cómo están hechos los números naturales?b.- utilizando la multiplicación, ¿cómo están hechos los números naturales?
Al analizar estas preguntas aparece el proceso de partir un número dado en partes más pequeñas e investigar cuáles son las partes indivisibles que se obtienen.
La respuesta a la pregunta a.- no es muy complicada: por ejemplo, el 7 “está hecho” de 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Y se acaba aquí el proceso de partición, pues el 1 no se parte como suma de números naturales más pequeños.
Lo que sucede con el número 7 ocurre con cualquier número natural: todos se construyen sumando unos. El número 1 es el único número que no se puede partir en partes menores. Este análisis nos lleva a concluir que el número 1 es la única pieza básica que tienen los naturales cuando la herramienta considerada es la adición.
La respuesta a la pregunta b.- es mucho más rica que la respuesta de la pregunta a.- Cuando consideramos la multiplicación como herramienta hay muchas piezas irreducibles. Por ejemplo el 252 se parte como 252 = 2×2×3×7×3. Y aquí el proceso de partición termina pues los números 2, 3 y 7 no pueden ser partidos en partes más pequeñas usando la multiplicación, son irreducibles.
Este proceso de partición de los números con la multiplicación se llama factorización y nos lleva a distinguir entre dos clases de números naturales: los que se pueden partir en partes más pequeñas, es decir que son factorizables, y los que no, es decir los que son irreducibles. Los primeros son llamados números compuestos. Los segundos, a excepción del número 1, son llamados números primos. El número 1 no sirve para construir ningún número usando la multiplicación. El número 1 en la multiplicación tiene el mismo rol que el número 0 para la adición. Por este motivo, el número 1 no es considerado primo, tampoco es compuesto, y es llamado unidad.
Los números primos constituyen las piezas básicas de los cimientos de la matemática: con ellos y con la multiplicación construimos todos los números naturales. Los primeros primos (desde 1 a 3.571) son:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511 1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987 1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053 2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129 2131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207 2213 2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 2287 2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357 2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423 2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531 2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617 2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687 2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741 2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801 2803 2819 2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903 2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999 3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079 3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167 3169 3181 3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 3257 3259 3271 3299 3301 3307 3313 3319 3323 3329 3331 3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413 3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511 3517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571
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En la página http://primes.utm.edu/lists/small/millions/ aparecen los primeros 50 millones de números primos.
Los primos son infinitos y, por lo tanto, no hay una tabla que los contenga a todos. Dos siglos a.C. ya se sabía que había infinitos primos, pero fue a finales del siglo XVI cuando comenzó un trabajo sistemático de los científicos del renacimiento para encontrar una fórmula que los produjera. Así como la fórmula 2n da todos los números pares, los matemáticos querían una fórmula parecida que diera todos, o al menos algunos, números primos.
Aproximadamente en el año 1630 Fermat descubrió que 22n +1 era primo para n = 1, 2, 3 y 4 y tenía la esperanza de que, cualquiera sea el número n, siempre sucediera que 22n +1 sea primo. Más tarde, en el año 1732, Leonhard Euler descubrió que para n = 5, el número 22n +1 es 4.294.967.297 = 641 × 6.700.417.
Algunos años más tarde Euler descubrió que la fórmula n2 – n + 41 daba primo para n = 1, 2, 3, ... , 39. Los primos que van apareciendo son 41, 43, 47, 53, 61, 71,... Lamentablemente para n = 40, la fórmula n2 – n + 41 da 1.681 = 41 × 41.
Hoy se sabe que no puede haber ninguna fórmula polinomial en n que dé primo para todo n. Sin embargo, los científicos no se rinden. En 1947, el Prof. W. H. Mills demuestra que existe un número real A, que aproximadamente es 1,3063 tal que si tomamos la parte entera de A3n da primo para todo n. Lamentablemente, el número A no se conoce con precisión, ni siquiera se sabe si es racional o no, lo que hace que probablemente esta fórmula no sea muy útil.
En el año 2004, los profesores Ben Green y Terence Tao descubren que dado cualquier número K existen números a y b tales que la fórmula a × n + b da primo para todo n desde 1 a K. En 2008 Jens Andersen encuentra el a y b que sirven para K = 25, demostrando que 81.737.658.082.080 × n + 6.089.317.254.750.551 es primo para todo n desde 1 a 25.
En cuanto a los mayores primos conocidos, en 1588 Pietro Cataldi verificó correctamente que los siguientes dos números 217 – 1 = 131.071 y 219 – 1 = 524.287 eran primos. Se cree que en esa época marcaron un récord en la búsqueda de números primos grandes. Para valorar debidamente el logro de Cataldi sería una buena idea invertir cierto tiempo intentando encontrar un número primo mayor que 524.287, aún utilizando calculadora o computadora (que Cataldi no tenía).
En la misma época, el monje Marin Mersenne decide estudiar en profundidad los números de la forma 2p – 1 con p primo, y ver cuáles de ellos dan primos. Por ejemplo:
22 – 1 = 3 es primo,
23 – 1 = 7 es primo,
25 – 1 = 31 es primo,
27 – 1 = 127 es primo,
211 – 1 = 2.047 = 23 × 89 es compuesto,
213 – 1 = 8.191 es primo.
Los primos que se obtienen con la fórmula 2p – 1, con p primo, se conocen como primos de Mersenne. En el año 1856 Édouard Lucas descubre un método muy rápido para determinar si 2p – 1 es primo o compuesto. Desde entonces y hasta hoy, han sido la principal fuente de récord para primos grandes. A continuación, presentamos una tabla que contiene los números primos que, a lo largo del tiempo fueron marcando un nuevo récord en la búsqueda de primos grandes antes de la aparición de los ordenadores.
En la actualidad, todos estos primos se detectan al instante con la ayuda de un ordenador. Ferrier utilizó una calculadora para demostrar que (2148 – 1 ) / 17 era primo. En el mismo año Miller & Wheeler demostraron, con el uso de ordenadores, que el siguiente número de 79 cifras es primo:
180 × (2127 – 1)2 + 1 = 5.210.644.015.679.228.794.060.694.325.390.955.853.335. 898.483.908.056.458.352.183.851.018.372.555.735.221
180 × (2127 – 1)2 + 1 = 5.210.644.015.679.228.794.060.694.325.390.955.853.335. 898.483.908.056.458.352.183.851.018.372.555.735.221
Todos estos fueron resultados muy celebrados. Con la aparición de los ordenadores la historia siguió un curso vertiginoso. En 1996 se puso en marcha el proyecto GIMPS, Great Internet Mersenne Prime Search, (Gran búsqueda de primos de Mersenne por Internet) en el que se invita al público que navega por Internet a compartir sus recursos informáticos para hallar el nuevo récord. En agosto de 2008 el proyecto GIMPS, liderado por el Prof. de Matemática Edson Smith de la Universidad de California en Los Ángeles, obtuvo el primer primo de más de 10 millones de
cifras. Al mes siguiente, el ingeniero electrónico Hans-Michael Elvenich de Alemania, obtuvo el segundo. Ellos son respectivamente: 243.112.609 – 1 y 232.582.657 – 1 . Cada uno de ellos ocuparía 2.000 páginas si los escribimos en letra de 10pt. La fundación Electronic Frontier Foundation ofrecía desde hacía más de 10 años un premio de 100.000 dólares a quienes obtuvieran el primer primo de más de 10 millones de cifras.
- ¿De qué manera están distribuidos los primos?, o más precisamente: ¿hay algún tipo de patrón que respeten los primos o realmente están distribuidos aleatoriamente?
- No se sabe si hay infinitas parejas de primos consecutivos (p, p + 2) como (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31).
- No se sabe si todo número par mayor que 2 es suma de dos números primos. Si probamos un rato, veremos que parece que sí: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, etc. En 1742, el matemático ruso Christian Goldbach le escribe a Euler haciéndole esta pregunta. Actualmente se conoce a este problema como la Conjeturade Goldbach. Nadie ha demostrado que sea verdadera ni nadie ha podido encontrar un número par que no sea suma de dos primos.
- No se sabe si hay infinitos primos de Mersenne. Los primos de Mersenne son aquéllos que se obtienen de restarle 1 a una potencia de 2, es decir que son aquellos primos de la forma p = 2n – 1. Se sabe que para que 2n – 1 resulte un número primo es necesario que n también sea primo. Ya vimos que estos números primos han marcado récord en la búsqueda de primos grandes.
- No se sabe si para todo n hay un número primo entre n2 y (n + 1)2 .
- No se sabe si es verdadera la Hipótesis de Riemann, que por su relación con la distribución de los números primos en el conjunto de los naturales, es uno de los problemas abiertos más importantes en la matemática contemporánea. En el año 1900 D. Hilbert propuso el problema de probar esta conjetura como uno de los 23 problemas a ser resueltos durante el siglo XX. Nadie pudo resolver este problema durante ese siglo y, en el año 2000, el Clay Institute of Mathematics volvió a proponerlo como problema para el próximo milenio, esta vez ofreciendo 1 millón de dólares a quienes resuelvan el problema.
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